Concepto de conjunto y de función

Dos conceptos están siempre presentes en cualquier idea en matemáticas: los conceptos de conjunto y de función. De hecho, en matemáticas siempre se están manejando conjuntos y funciones, porque la Matemática es, como ya hemos definido antes, la ciencia y la técnica que trata con conjuntos y funciones. Siempre conjuntos y funciones en matemáticas. No se sale de estos dos conceptos.

            En realidad el concepto nuclear en matemáticas es el de función. Lo que sucede es que una función es una regla de asignación mediante la cual a todo elemento de un conjunto le asociamos un elemento, y sólo uno, de otro conjunto. Por lo tanto, en una función siempre necesitamos conjuntos. Uno como conjunto de partida de la función y otro como conjunto de llegada. Suele denominarse a uno dominio y al otro codominio.

            Visto así puede parecer el mundo de las matemáticas como un mundo pobre, pero lo cierto es que la variedad de conjuntos y de funciones que se pueden llegar a ver dentro del mundo de las matemáticas es impresionante. En nuestras visitas a conjuntos y funciones que haremos en la parte especial de este libro podremos comprobar perfectamente esta sorprendente variedad.

            En matemáticas todo gira en torno al concepto de función. Puede empezar a percibirse así la unidad que hay dentro del enorme volumen de conceptos que se han ido creando a lo largo de la historia de las matemáticas. Decir que las Matemáticas no hay más que funciones, y los conjuntos que son el soporte de esas funciones, debe proporcionarnos, además (y esto es muy importante), una cierta tranquilidad a la hora de iniciar este recorrido. Desde fuera, y a veces también desde dentro, las matemáticas se observan en muchas ocasiones como una enorme diversidad de conceptos, de técnicas, de problemas, de naturaleza incierta y sin conexión. Ahora, en este primer enmarque de lo que veremos, ya hemos unificado y ordenado todo lo matemático: Estudiar un único objeto, el de función. Siempre, pues, funciones. Esta idea debe guiarnos siempre en nuestro recorrido. Veremos una gran diversidad de cosas pero a través del hilo conductor del concepto de función.

            Estos dos conceptos agrupan todo lo que hay en el mundo de las matemáticas. A través de estos conceptos unificadores se puede entender mucho mejor cada una de las peculiaridades de la gran diversidad de conceptos que se manejan en matemáticas y que suelen verse como fragmentarios y desconectados los unos de los otros. Ahora todo aparecerá agrupado: todo girará en torno a estos dos conceptos.  Presentar nuestro recorrido girando siempre alrededor de estos conceptos ayudará a situar mejor las cosas, ayudará a enfrentarse a la diversidad con más posibilidades de comprender el papel que juega cada uno de los conceptos.

            Estos dos conceptos serán la guía para nuestra mirada unificadora a toda la matemática. Serán nuestro hilo conductor. Nos permitirán entrar de lleno en el mundo de las matemáticas porque nos ayudarán a ver la realidad de cosas muy concretas y, al mismo tiempo, nos ayudarán a distanciarnos de ellas porque el ver que, en realidad, la enorme variedad de conceptos que hay en matemáticas pueden resumirse en dos nos permitirá delimitar, perfilar y dibujar con menor temor la materia con la que nos enfrentamos.

            El nivel de complejidad al que se puede llegar con estos dos conceptos es enorme, por supuesto. Aquí está la dificultad, pero también lo apasionante de las matemáticas. En este recorrido por las matemáticas no dejaremos de tratar con conjuntos y con funciones. Estos dos conceptos van a ir enriqueciéndose, van a ir acumulando significados en la medida que nos enfrentemos a casos muy concretos, en la medida que visualicemos funciones concretas. Haremos disección de conjuntos y funciones. Haremos anatomía. Nos sorprenderá la complejidad y belleza que encontraremos en entidades aparentemente amorfas. Vamos a hacer una biología de los conjuntos y funciones.

Vamos a definir el concepto de conjunto:

            Un conjunto es una reunión, hecha según un criterio cualquiera, de unas entidades cualesquiera.

            Un conjunto es algo tan general como esto. Es el resultado de una agrupación, realizada según un criterio del tipo que sea, de entidades de cualquier naturaleza. A veces a estas entidades se las suele llamar elementos del conjunto.

            Alguna precisión sobre el concepto de entidad: Una entidad será para nosotros una unidad, una agrupación de estructuras que a un determinado nivel de organización dispone de singularidad. Está separada, en un cierto sentido, de un entorno.

            En matemáticas, pues, los conjuntos pueden ser cosas tan variadas como: las personas censadas en Barcelona, los capítulos de El Quijote, los números naturales o  todas las funciones continuas (ya veremos qué tipo de entidades son esas).

Veamos el concepto de función: Dados dos conjuntos A y B cualesquiera, una función es una ley mediante la cual a todo elemento de A se le asocia un único elemento de B.    

En la expresión es y=f(x). La x es aquí una expresión que designa a cualquier elemento del conjunto A y f(x) es una expresión que designa qué procedimiento, qué cálculo es necesario hacer para encontrar el elemento del conjunto B asociado a cada x, a cada elemento del conjunto A, según la ley f de la función. La y es, por lo tanto, el elemento concreto del conjunto B asignado a una x concreta según el procedimiento f.

            f(x) es la expresión de la ley. Es donde se comprimen las especificaciones para asociar elementos de B a cada uno de los elementos de A. La x que hay dentro del paréntesis en f(x) es la x del conjunto A. Es una expresión general de cualquier elemento del conjunto A. Según lo especificado por f(x) sabremos qué elemento del conjunto B le corresponde a cualquier elemento x del conjunto A. Por ejemplo, la función f(x)=x2 nos indica que a un número cualquiera x que esté en el conjunto que ocupa la posición de A, su imagen, el valor que se le asigna según esta función, es su cuadrado. Si el 2 está en A se le asignará el 4, si está el -1 se le asignará el 1. Si está el 10 se le asignará, según esta función f, el 100. Etc.

            No siempre tendremos una expresión general de la función. A veces la ley deberemos expresarla mediante un listado de todos los elementos de A y sus respectivos elementos de B asignados según f.

            Una función es, pues, una ley, una regla, que asocia a todo elemento del conjunto A un único elemento del conjunto B.

            Al conjunto que ocupa la posición del conjunto A suele denominarse dominio y al que ocupa la posición del conjunto B, recorrido. A veces, también, codominio.

            Este libro, por ejemplo, lo podemos ver como un conjunto de párrafos. Un conjunto cuyos elementos son todos los párrafos del texto. Entonces x es la expresión abstracta de cualquiera de sus párrafos, f  es una ley concreta y f(x) es el número que esta ley asigna a cada x distinta, que es un valor del conjunto R de los números reales. Por ejemplo, el números de palabras sería una función f. Según esta ley a cada uno de los párrafos se le asigna el número de palabras.

            Por supuesto que podríamos concretar esta x. Podríamos ir escribiendo cada uno de los párrafos en los que está estructurada esta tesis y a la derecha el número de palabras que le corresponde.

            El número de signos de puntuación sería otra f, otra función. El número de líneas, otra. El número de faltas de ortografía (Espero que esta función sea la función constante cero, escrita f(x) = 0; o sea, la función que a cada párrafo, designado aquí como x, le asigna el número cero). El número de verbos sería otra función. Etc.

            Es curioso porque esta definición de función todos los estudiantes la conocen, la han visto muchas veces, desde primaria la están viendo, pero entenderla bien significa usarla en situaciones bien distintas, significa ser capaz de adaptarse con su uso a conjuntos A y  B muy diferentes, y esto es ciertamente difícil.

Las matemáticas son eso: Conjuntos, funciones, conjuntos de funciones, funciones entre conjuntos de funciones, conjuntos de funciones que se definen entre conjuntos de funciones, etc. Siempre este juego entre conjuntos y funciones. Ya lo iremos viendo.

            En matemáticas es cuestión de entrar en el lenguaje que configuran estos dos conceptos. Si se entra en este lenguaje, si se sitúan las cosas siempre bajo la configuración de estos dos conceptos, muchos conceptos que antes estaban sin una ubicación precisa en nuestra mente adquieren una posición más delimitada, más nítida. Conceptos como, por ejemplo, el de integral definida o el de derivada son, ya lo veremos, en realidad, unos tipos especiales de funciones. Esto cambiará posiblemente el significado que teníamos de estos conceptos.

            Además, lo más difícil y lo más interesante del concepto de función es poder ver sus aplicaciones, cómo estos extraños organismos pueden servirnos para dibujar muchas cosas que vemos a nuestro alrededor. Ver cómo nos permiten dibujar las relaciones que hay entre ciertas características medidas en las cosas más próximas a nosotros.

            Es muy importante ver las enormes posibilidades creativas que tienen estos dos conceptos. Este mundo, además de bello de por sí, está repleto de entidades útiles para pensar nuestro mundo, el de las cosas que nos rodean: el de los animales, el de las plantas, el de los humanos, las relaciones económicas, sociales, etc. Las entidades matemáticas son, tienen un tipo de vida: una vida lingüística. Y, además, pueden servir para representar a otros seres. Este ser dibujos de otras realidades, este ser modelos de cosas que tienen una realidad distinta a la realidad matemática será uno de los aspectos que más nos interesará en este recorrido por el lenguaje de las matemáticas.

            Para un economista, un biólogo, un geólogo, para cualquier científico, las matemáticas aportan unas entidades de interés para dibujar, para aproximar, para modelizar, para dibujar las entidades con las que ellos se enfrentan, pero, además, y esto suele olvidarse, también aportan un ejercicio de pensamiento, de reflexión, que estamos seguros de que juega un importante papel que, aunque no es directamente perceptible, contribuye mucho a la lógica, a la creatividad y a la imaginación necesarias para todo científico. Entrar en el mundo de las matemáticas, además de tener acceso a entidades que son bellas de por sí y de facilitar unas estructuras que pueden ser útiles para hablar de los objetos con los que trata cualquier ciencia, facilita, a cualquiera que accede a él, una gimnasia mental con un valor no suficientemente estudiado y valorado.

            La mayor parte de técnicas que se estudian en matemáticas son formas de mirar y buscar características de los que son los verdaderos protagonistas de la escena matemática: los conjuntos y las funciones.

Los conceptos de conjunto y de función se usan en el lenguaje popular con un significado prácticamente idéntico al que tienen en matemáticas. La palabra conjunto aparece en muchos contextos en el lenguaje cotidiano. Por ejemplo: Los empleados presentaron un conjunto de propuestas al director. El significado de conjunto cumple aquí perfectamente nuestra definición de conjunto. La palabra función, también se usa cotidianamente. Por ejemplo: En función del tiempo que haga iré o no iré. Este uso de función cumple perfectamente, también, la definición de función que se maneja en matemáticas. Cada situación meteorológica posible lleva asociada de forma única una decisión: ir o no ir. Y sólo una.