Definición de Matemáticas

¿Recuerda
el lector haber leído alguna vez una definición de Matemáticas? Posiblemente
no. Es que, en realidad, se han propuesto muy pocas. La verdad es que de las
Matemáticas tenemos muy claro qué cosas pertenecen a ese mundo, pero la visión
sintética, unificadora, integradora que requiere una definición no se realiza
con frecuencia. Esto ya lo podemos tomar, tal vez, como en síntoma de un
problema de fondo muy grave: usualmente en Matemáticas se calcula mucho, se
opera mucho, pero se reflexiona poco. Todos tenemos claro, por ejemplo, que el
mundo de las propiedades de los números, la trigonometría, la geometría, los
logaritmos, los límites, las derivadas, etc., todo esto pertenece al mundo de
las Matemáticas. Pero el problema surge cuando nos planteamos qué son las
Matemáticas, cómo articular con unas cuantas palabras una visión sintética y
unitaria de lo común de todas estas cuestiones que sin dificultad asociamos a
la disciplina de las Matemáticas.
Una posible definición, que es la que manejaré en esta obra y que me servirá como
hilo conductor a lo largo de todos los capítulos, es la siguiente: La
Matemática es la ciencia y la técnica que trata con conjuntos y con funciones.
Toda disciplina tiene un objeto
de trabajo, un ámbito sobre el cual actúa. Un territorio sobre el que decir
cosas o introducir entidades. Por ejemplo, la Lingüística trata con el
lenguaje, el Derecho con normas, la Biología con la vida. Lenguaje, normas,
vida son los objetos sobre los que actúa cada una de esas tres disciplinas.
Si esta disciplina es una ciencia
esta actuación básicamente consiste en la observación y en la experimentación
con la finalidad de comprender un determinado ámbito de la realidad. Así, por
ejemplo, la Lingüística, la Biología o el Derecho, como ciencias se plantean el
estudio racional, la ordenación conceptual, del ámbito objetivo sobre el que
actúan.
Si esta disciplina es una técnica esta actuación consiste en la creación de
entidades, en la creación de determinadas realidades (robots, ordenadores,
puentes, normas, etc.) para que se consigan, así, ciertos objetivos
preestablecidos.
La definición propuesta dice que la Matemática es una ciencia y una técnica.
Generalmente decimos que una disciplina o es una ciencia o una técnica. Pero
hay realmente disciplinas que comparten ambas dimensiones. Por ejemplo, el
Derecho. El Derecho también es una ciencia y una técnica. La dogmática
jurídica, el estudio de las normas vigentes en un territorio y en un momento
dados, es ciencia, es un intento de conocer una determinada realidad normativa,
conocer sus características, su estructura, sus peculiaridades. Pero también
hay en el mundo del Derecho algo cada día más trabajado en el mundo jurídico,
lo que ha venido en llamarse la Tecnología legislativa. Pues esto es, como su
nombre bien indica, una técnica.
La Matemática es, pues, una técnica:
Los conjuntos y las funciones, que son su objeto básico de trabajo, se crean.
Las funciones se crean a veces con la finalidad de modelar algún aspecto de la
realidad: el crecimiento de una población, el comportamiento de alguna
característica física a lo largo del tiempo, la relación entre la abundancia de
dos determinados tipos de palabras a lo largo de un texto, la relación que hay
entre euros y pesetas, etc. Otras veces las funciones se crean por el mero
placer de crear, de crear estructuras con ciertas curiosidades, con formas
extrañas, con propiedades curiosas.
Pero la Matemática es también una
ciencia: Los conjuntos y las funciones son entidades que se pueden estudiar al
modo que trabaja habitualmente la ciencia. Buscar propiedades, características.
De hecho una serie de conceptos clásicos en matemáticas, como el de límite,
derivada, etc., son técnicas para estudiar las funciones, son instrumentos para
caracterizar a los verdaderos entes matemáticos, que son las funciones.
Ya hemos visto la dimensión
científica y tecnológica de la Matemática. Ahora hace falta ver el objeto sobre
el que actúa la Matemática tanto al actuar como ciencia como al actuar como
técnica. Hemos dicho que el objeto es el mundo de los conjuntos y el de las
funciones. Y esto es muy importante. De hecho es la clave del planteamiento de
este curso de Matemáticas. Ver que detrás de todo en Matemáticas están los
conceptos de conjunto y de función es la clave de este proyecto. Es la clave
para mostrar el peculiar lenguaje del mundo de las Matemáticas.
Es claro que puede en principio
sorprender. La mayor parte de los estudiantes que llegan a la Universidad,
después de sus estudios secundarios tienen una idea deformada de lo que son las
Matemáticas. Tienen en la cabeza un enorme repertorio de conceptos matemáticos
muy desconectados entre sí. A un estudiante le cuesta ver la relación que hay
entre conceptos como derivada, límite, logaritmo, trigonometría, integración,
primitiva, etc. Pues la noción de función es un buen elemento de integración.
Porque lo que tienen estos conceptos citados en común y lo que tienen todos los
conceptos matemáticos en común es la noción de función. Que todos son distintos
enfoques, distintas formas de aproximarse a las funciones que son los
verdaderos protagonistas en el mundo de las matemáticas.