DESVIACIÓN ESTÁNDAR versus ERROR ESTÁNDAR

Supongamos tres equipos de investigación que estudian la variable altura en una misma población: el equipo A, el equipo B y el equipo C. Los tres equipos estudian, pues, la misma realidad.

El equipo A toma una muestra de tamaño 100, calcula la media (M) y la desviación estándar (DE) y resulta que la M es 171 y la DE es 10.

El equipo B toma una muestra de tamaño 400 y resulta que al calcular la M y la DE obtiene los siguientes valores: 170.5 y 10.

El equipo C toma una muestra de tamaño 10000 y resulta que al calcular la M y la DE obtiene los valores: 170 y 10.

El que las medias sean valores tan parecidos y los de DE sean idénticos, es debido a que los tres equipos están estudiando la misma población y es perfectamente posible que suceda algo así. Es cierto que el que sean las DE exactamente iguales es un poco ficticio y me permite explicarme mejor pero no es descabellado pensar que en un caso real sean muy similares. Por otro lado, es lógico que no haya mucha diferencia entre los cálculos que pueda hacer cada equipo en sus muestras. Es cierto que los tamaños muestrales son distintos, pero todas las muestras son de la misma población. Aquí la estructura poblacional domina sobre el tamaño muestral.

A la hora de construir un intervalo del 95% de la variable altura el equipo A dará el intervalo (151, 191), el B (150.5, 190.5) y el C (150,190). Recordemos que estos intervalos se construyen tomando la media y restándole y sumándole dos veces la desviación estándar. Así se construye un intervalo en el que está el 95% de los valores individuales de la variable, siempre y cuando la variable se distribuya según el ritmo de una campana de Gauss, de una distribución normal (Suele tomarse este más menos dos desviaciones estándar por aproximación, pero lo exacto sería calcular 1.96 multiplicado por la desviación estándar). Observemos, pues, que se trata de intervalos muy parecidos, prácticamente iguales y observemos, también, que aquí el tamaño muestral no interviene, no juega un papel decisivo. Aquí domina la estructura poblacional.

Pero si los tres equipos nos dieran un intervalo del 95% DE LA MEDIA (Observad que lo pongo con mayúsculas) serían: (169, 173) el del equipo A, (169.5, 171.5) el del equipo B y (169.8, 170.2) el del equipo C. Y aquí sí que habría diferencias importantes. Y aquí sí que interviene el tamaño muestral. Aquí no es tan determinante la estructura poblacional y sí lo es, por el contrario, el tamaño muestral. Porque el intervalo es ahora un intervalo de la media.

Es fundamental distinguir estos dos tipos de intervalos. Los construidos antes y los construidos ahora. En el fondo es un problema de saber si estamos ante UNA PREDICCIÓN o ante UNA DESCRIPCIÓN. Los intervalos que los tres equipos daban primero (Los  (151, 191), (150.5, 190.5) y (150, 190)) son una DESCRIPCIÓN de una realidad, de la variabilidad de una variable (la altura) y, en este caso, la realidad domina sobre el tamaño muestral. Son intervalos muy similares. Y es así por este dominio de la realidad. Sin embargo, a la hora de predecir es el tamaño muestral el que domina sobre la realidad. En estos intervalos DE LA MEDIA (Los  (169, 173), (169.5, 171.5) y (169.8, 170.2) no significa que el 95% de alturas están entre sus límites sino significa que tenemos una confianza del 95% de que la verdadera media poblacional (que es un número desconocido que pretendemos predecir) está dentro del intervalo. Estamos tratando de PREDECIR un valor no de DESCRIBIR la variabilidad de una variable. Y en este tipo de intervalos de la media el tamaño de la muestra sí que es determinante porque marca la precisión que tenemos para hacer una predicción. Cuanto mayor sea el tamaño de muestra más precisión y, por lo tanto, más estrecho será el intervalo. Y por una razón fundamental: Cuanto más pequeño es un tamaño muestral más diferencias (más dispersión) habrá entre las diferentes medias que calculemos a las diferentes muestras posibles. Y, por el contrario, cuanto más grande sea el tamaño muestral más proximidad habrá entre las muestras posibles. Esto es crucial entenderlo: Entre muestras pequeñas habrá más diferencias que entre muestras grandes.

Para entender esto hay que profundizar en la noción de variable en estadística. Una variable cuantitativa es una medida que podemos evaluar a unas entidades determinadas. El peso, la altura, la renta en 2010 son variables que podemos medir a personas. El número de sílabas es una variable que podemos medir a toda palabra del castellano. El número de trabajadores lo es para empresas, etc.

Pues bien, algo muy importante: LA MEDIA MUESTRAL ES UN NÚMERO PARA UNA MUESTRA PERO TAMBIÉN DEBE VERSE COMO UNA VARIABLE. La media muestral debe verse también como una variable, una variable que tiene valores distintos según la muestra que tengamos, una variable que se puede medir a toda muestra de un tamaño n que obtengamos en una población. Cuando tomamos una muestra de una población la muestra que tenemos es una de las muchísimas muestras que podríamos tener. Por lo tanto, la media muestral también es una variable, una variable que varía según la muestra que tengamos, y, como variable que es, tiene media y DE. Una media y una DE que nunca tendremos realmente, porque en un estudio tenemos una muestra de cierto tamaño, no todas las muestras posibles de dicho tamaño; pero sí podemos tenerlas idealmente, teóricamente, conceptualmente; que significa, en estadística, algo así como aproximadamente.

Y ahora veamos un teorema muy importante en Estadística: Si una variable sigue una distribución normal la media muestral de esta variable, como variable, también es una normal. Una normal también con su media y su desviación estándar. Su media es, exactamente, la misma que la de la variable original; o sea: M. Su DE es la de la variable original dividido por la raíz cuadrada del tamaño de muestra: DE/raíz(n). O sea, si una variable sigue una distribución N(M, DE) la media muestral, como variable, sigue una distribución N(M, DE/raíz(n)). Al aumentar el tamaño de muestra disminuye la dispersión de esa media como variable, por aquello que hemos dicho antes: Entre muestras pequeñas hay más diferencias que entre muestras grandes, por lo tanto al aumentar el tamaño muestral las medias posibles calculadas a las distintas muestras posibles van pareciéndose cada vez más entre ellas. De ahí que la precisión a la hora de construir intervalos de confianza de la media dependa del tamaño muestral. Cuanto mayor es el tamaño de la muestra, como la n está en el denominador, DE/raíz(n) es cada vez menor y los intervalos de predicción de la media poblacional serán cada vez más estrechos, más precisos. Porque el intervalo de la media es una PREDICCIÓN de la media poblacional

Teníamos tres equipos: el A, el B y el C, estudiando las alturas de una misma población. Los tres equipos trabajaban con distinto tamaño de muestra: el A con tamaño 100, el B con tamaño 400 y el C con 10000. Pero los tres tenían medias y DE muy próximas, por eso los intervalos del 95% de valores individuales de la variable estudiada, los intervalos que DESCRIBEN la variabilidad de la variable, son muy similares. Sin embargo, los intervalos de confianza del 95% de la media, los que PREDICEN, que dan cada equipo son muy distintos: (169, 173), (169.5, 171.5) y (169.8, 170.2).

Veamos cómo calcula cada equipo su intervalo de confianza del 95% de la media. Para el equipo A, DE/raíz(n) vale 10/raíz(100)=10/10=1. Por lo tanto, la media muestral sigue una distribución N(171, 1). Para el equipo B, DE/raíz(n) vale 10/raíz(400)=10/20=0.5. Por lo tanto, la media muestral sigue una distribución N(170.5, 0.5). Para el equipo C, DE/raíz(n) vale 10/raíz(10000)=10/100=0.1. Por lo tanto, la media muestral sigue una distribución N(170, 0.1).

Puede entenderse, pues, que si construyen un intervalo de confianza del 95% de la media tomen la media más menos dos DE/raíz(n) porque este cociente es la DE de la media. A esta DE de la media muestral, vista ésta como variable, se le denomina ERROR ESTÁNDAR.

El error estándar es, pues, una DE, pero una DE de la media muestral, y en general de una predicción cualquiera. Es una DE que, además, se construye a partir de la DE de la variable original. Se entiende, pues, que el intervalo del 95% del equipo A sea (169, 173), el del B sea (169.5, 171.5) y el del equipo C sea (169.8, 170.2), basta con restar y sumar dos veces sus respectivas DE; o sea, sus errores estándar (EE). El EE que tenía la media muestral del equipo A hemos visto que era 1, de ahí el 171 más menos 2. El EE que tenía la media muestral del equipo B era 0.5. Dos veces ese EE nos lleva al intervalo 170.5 más menos 1. El EE que tenía la media muestral del equipo C era 0.1. Dos veces ese EE nos lleva al intervalo 170 más menos 0.2. Recordemos que en una distribución normal cualquiera la media más menos dos DE construye un intervalo de confianza del 95%. En este último caso es media más menos dos EE porque estamos hablando de la DE de una predicción y eso siempre le llamamos ERROR ESTÁNDAR.

Tener muestras más grandes nos permite construir intervalos más estrechos a la hora de hacer predicciones.

Es muy importante, pues, diferenciar cuándo se dan intervalos de la variación de una variable con finalidad DESCRIPTIVA, como cuando los tres equipos daban los intervalos (151, 191), (150.5, 190.5) y (150, 190), construidos con la DE de la variable estudiada, de cuándo se dan intervalos de la media o de otra predicción, con finalidad, entonces, PREDICTIVA, como los (169, 173), (169.5, 171.5) o (169.8, 170.2) construidos con la DE de esa predicción vista como variable. DE que para distinguirla la denominamos ERROR ESTÁNDAR y que siempre depende de la DE de la variable estudiada y del tamaño muestral. Es básico ver esta diferencia.

El término ERROR ESTÁNDAR es, pues, en realidad, una DESVIACIÓN ESTÁNDAR, pero reservado siempre para nombrar desviaciones estándar de predicciones, de estimaciones de un número: medias, porcentajes, odds ratios, correlaciones, etc.

Els leucòcits


La leucocitosi és solament un factor de risc y no un diagnòstic definitiu

En la època prevacuna Hib i PV-7 la presencia de febre i leucocitosi indicaven risc de bacterièmia (10 % incidència si > 39,5º y > 15000 leucòcits. )

Avui en dia, amb la disminució de la incidència de BO el valor predictiu és molt baix (2-3%)

Alguns autors es qüestionen la utilitat del recompte

VPP

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Sensibilidad y especificidad

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Conjuntos de números

De todos los conjuntos posibles los más usados en la construcción del mundo de las matemáticas son los conjuntos de números: Los conjuntos cuyos elementos son números. Son los más usados porque en matemáticas es muy usual tratar con magnitudes, con valores, con números que hacen referencia a una característica. Los números son el alfabeto de las magnitudes de cualquier naturaleza.

            Potencialmente hay infinitos conjuntos de números. Los cinco conjuntos de números más populares, más usuales, son el conjunto de los naturales, el de los enteros, el conjunto de los racionales, el de los números reales y el de los complejos.

N es el conjunto de los números naturales, Z el de los números enteros, Q el de los racionales, R el de los reales y C el de los números complejos. Unos dentro de otros. Unos como subconjuntos de otros. (Un conjunto es subconjunto de otro conjunto cuando todos sus elementos -los del subconjunto- están incluidos en el otro conjunto). Así los naturales son un subconjunto de los enteros; éstos, a su vez, son un subconjunto de los racionales, etc. Todos, en última instancia, son subconjuntos de los números complejos, que se constituye en el techo de todos los posibles conjuntos de números.

            El conjunto de los números naturales N es el formado por los siguientes números: {1,2,3,…}.

Los puntos suspensivos indican que tenemos la posibilidad de continuar indefinidamente.

            Kronecker dijo en una ocasión que los números naturales los creó Dios y todos los demás los crearon los hombres. De hecho es el conjunto de números más familiar para nuestra intuición, para nuestra capacidad de percibir la discretización de las cosas de nuestro mundo. Las cosas las agrupamos, y se agrupan, en cantidades que son números naturales. Decimos un coche, o cinco personas, o siete libros.

            Un número es una entidad matemática con vida propia, como toda entidad matemática, y que, como sucede también con toda entidad matemática, además, puede actuar como modelo, como representación, como aproximación, de la cantidad, de la magnitud de una característica de una entidad cualquiera.

            El conjunto de los números enteros Z es el formado por los números naturales, el cero y los naturales con signo negativo; o sea, el formado por los siguientes números:{…,-2,-1,0,1,2,…}.

Los puntos suspensivos aquí se toman desde la izquierda, porque podemos extendernos indefinidamente hacia la izquierda, y hacia la derecha, porque, como sucede con los naturales, podemos continuar indefinidamente hacia la derecha.

            Los números enteros los podemos usar como modelo, como representación de muchas situaciones: Si en un banco tenemos, en una cuenta, 1000 pesetas y nos pagan un recibo de la luz que es de 2000 pesetas, nos aparecerá un saldo de -1000, y esto lo entendemos todos. Dentro del conjunto de los números naturales no existe ningún número, ningún modelo, para representar este saldo negativo. En los enteros sí lo tenemos.

            Los números negativos se entienden y se usan hoy en día con total normalidad, pero no siempre ha sido así. Incluso hoy en día no es sencilla su comprensión por ciertas personas de algunas generaciones. A ciertas personas mayores si se les pregunta cuánto es 5 menos 8 dicen que cero. Si a cinco se le quita ocho no queda nada, dicen, si se les pide que razonen el porqué.

            El conjunto de los números racionales Q es el formado por los siguientes números:{a/b; a y b son enteros y b es distinto de cero}.

            Esta es la expresión abstracta del conjunto. Se lee así: El conjunto de los números racionales está formado por elementos x tales que x es igual a un cociente cualquiera de dos números enteros con la única condición de que la q no sea el cero en ningún caso.

            El conjunto de los números racionales está formado por cocientes de números enteros. Son las fracciones: 1/2, 3/4, etc. Buen modelo también para situaciones reales, comerciales, cotidianas, para formas de hablar, etc. Decimos la mitad, o tres cuartas partes. Son expresiones que entendemos todos. Los racionales se crearon para modelizar este tipo de situaciones. En general, cuando algo puede dividirse en fragmentos de la misma magnitud q y tomamos p fragmentos de esos, entonces hemos tomado el número racional p/q.        

            El conjunto de los números reales R es el conjunto de los números racionales más el de los irracionales. Los irracionales son los números que no pueden expresarse en forma de un cociente de enteros. Por ejemplo: el número pi, el número e, la  2, etc. Estos números no pueden expresarse en forma de fracción. Sus decimales no siguen una ordenación regular. Tienen infinitos decimales y, además, imprevisibles. Esto de imprevisibles es fundamental porque, por ejemplo, 10/3 es un número racional que tiene infinitos decimales también, pero son claramente previsibles, son siempre el mismo número: el 3.

            Estos números surgen de la necesidad de representar valores reales como la relación entre el diámetro y el perímetro en una circunferencia o la longitud del diámetro en un cuadrado de lado uno, para cuya representación no nos valen los racionales. No hay ningún racional que nos proporcione la longitud del diámetro de un cuadrado de lado uno, de la misma forma que no había ningún número natural que nos representara un saldo negativo de mil pesetas.

            Cada número real ocupa una posición en la denominada recta real. La recta está ocupa en todos sus puntos. No ocurriría lo mismo si representáramos los racionales. En este caso habría agujeros. En la posición del número pi , por ejemplo, habría un agujero, porque el número pi no es un número racional.

            El conjunto de los números complejos C es el conjunto de los siguientes números: {a+bi; donde a y b son números reales e i es igual a la raíz cuadrada de -1}.

            Un número complejo tiene la forma a+bi. La a es la llamada parte real y la b es la llamada parte imaginaria. Los números reales son los números complejos en los que la parte imaginaria es igual a cero. Uno puede decir: Tengo 24+0i años. Cualquier número, en realidad, es un número complejo.

            Estos números resuelven ecuaciones como, por ejemplo, x²+1=0. No hay ningún número real que sea solución de esta ecuación porque no hay ningún número real que elevado al cuadrado (que multiplicado por él mismo) dé -1, que es lo que debería suceder para que la igualdad fuera cierta.

            Como puede apreciarse cada tipo de número es una respuesta a algún tipo de situación real. Cada tipo de números aporta algo nuevo que era imposible encontrar en los anteriores.

            Los números complejos son el techo de todos los números. Los demás son diferentes subconjuntos de éstos y, como tales, son, en realidad, complejos. Por ejemplo, los números reales son complejos en los que la b es igual a cero. Como la b, en los complejos, puede ser cualquier número real, y como los reales son los complejos para los que la b es igual a cero, los reales se ven ahora como una muy pequeña parte respecto al total de números complejos.

            Es muy interesante ver cómo unos conjuntos de números están incluidos dentro de otros. Los naturales están dentro de los enteros, los enteros dentro de los racionales, los racionales dentro de los reales y los reales están dentro de los complejos. Todos son, pues, complejos.

            Se pueden ver los números complejos como puntos de un plano en el que una dimensión es la llamada parte real del número, la a, y la otra dimensión la parte imaginaria, la b. De esta forma cada número complejo ocupa una posición distinta en este plano, una posición definida por dos componentes: su parte real y su parte imaginaria.

            Aunque estos conjuntos de números son los más usuales en matemáticas no son los únicos conjuntos de números importantes. Hay otros conjuntos de números que en gran parte pueden ser partes de estos conjuntos básicos vistos, pero que es muy importante especificar por la enorme importancia que tienen. Por ejemplo: el conjunto de números reales comprendidos entre el cero y el diez, incluidos ambos. Este conjunto en lenguaje más técnico se le suele denominar el intervalo cerrado de números reales entre el cero y el diez. Escrito en lenguaje matemático:[0,10].

De este conjunto no nos hemos escapado de manejarlo nadie. Es el conjunto de notas posibles tras un examen. En España la forma de puntuar habitual de los exámenes es mediante un número que va del cero al diez, de un número de este intervalo cerrado. Es cerrado porque el cero y el diez pueden ser notas. Si el cero y el diez no pudieran nunca ponerse como notas pero sí cualquier nota entre ellos el intervalo sería el denominado “abierto”. Y se escribiría entonces (0,10) De la misma forma hay los semiabiertos:[0,10) y (0,10]. La interpretación de estos intervalos es obvia si se proyecta lo explicado anteriormente.

Otro conjunto de números importante: El intervalo de números reales del cero al cien. Escrito:[0,100]. Continuamente hablamos en porcentajes. Pues tomamos entonces valores de este conjunto.

Otro conjunto:[0,1]. Este es un conjunto de números muy usual en el mundo de las probabilidades. Las probabilidades las solemos expresar en tanto por uno. Por ejemplo, en una moneda equilibrada decimos que la probabilidad de cara es 0,5.

Otro:[-1,1]. Muy usual para indicar las correlaciones entre dos características evaluadas en ciertos individuos. Por ejemplo, podemos oír o leer que en una muestra estudiada se ha comprobado que entre la altura y el peso hay una correlación de 0,78. Este valor de correlación por el cálculo que implica siempre está comprendido entre el -1 y el 1.

Otro índice muy popular en la Química: El pH. Es un número entre 1 y 14. Por lo tanto, el pH es un valor de un intervalo [1,14].

Concepto de conjunto y de función

Dos conceptos están siempre presentes en cualquier idea en matemáticas: los conceptos de conjunto y de función. De hecho, en matemáticas siempre se están manejando conjuntos y funciones, porque la Matemática es, como ya hemos definido antes, la ciencia y la técnica que trata con conjuntos y funciones. Siempre conjuntos y funciones en matemáticas. No se sale de estos dos conceptos.

            En realidad el concepto nuclear en matemáticas es el de función. Lo que sucede es que una función es una regla de asignación mediante la cual a todo elemento de un conjunto le asociamos un elemento, y sólo uno, de otro conjunto. Por lo tanto, en una función siempre necesitamos conjuntos. Uno como conjunto de partida de la función y otro como conjunto de llegada. Suele denominarse a uno dominio y al otro codominio.

            Visto así puede parecer el mundo de las matemáticas como un mundo pobre, pero lo cierto es que la variedad de conjuntos y de funciones que se pueden llegar a ver dentro del mundo de las matemáticas es impresionante. En nuestras visitas a conjuntos y funciones que haremos en la parte especial de este libro podremos comprobar perfectamente esta sorprendente variedad.

            En matemáticas todo gira en torno al concepto de función. Puede empezar a percibirse así la unidad que hay dentro del enorme volumen de conceptos que se han ido creando a lo largo de la historia de las matemáticas. Decir que las Matemáticas no hay más que funciones, y los conjuntos que son el soporte de esas funciones, debe proporcionarnos, además (y esto es muy importante), una cierta tranquilidad a la hora de iniciar este recorrido. Desde fuera, y a veces también desde dentro, las matemáticas se observan en muchas ocasiones como una enorme diversidad de conceptos, de técnicas, de problemas, de naturaleza incierta y sin conexión. Ahora, en este primer enmarque de lo que veremos, ya hemos unificado y ordenado todo lo matemático: Estudiar un único objeto, el de función. Siempre, pues, funciones. Esta idea debe guiarnos siempre en nuestro recorrido. Veremos una gran diversidad de cosas pero a través del hilo conductor del concepto de función.

            Estos dos conceptos agrupan todo lo que hay en el mundo de las matemáticas. A través de estos conceptos unificadores se puede entender mucho mejor cada una de las peculiaridades de la gran diversidad de conceptos que se manejan en matemáticas y que suelen verse como fragmentarios y desconectados los unos de los otros. Ahora todo aparecerá agrupado: todo girará en torno a estos dos conceptos.  Presentar nuestro recorrido girando siempre alrededor de estos conceptos ayudará a situar mejor las cosas, ayudará a enfrentarse a la diversidad con más posibilidades de comprender el papel que juega cada uno de los conceptos.

            Estos dos conceptos serán la guía para nuestra mirada unificadora a toda la matemática. Serán nuestro hilo conductor. Nos permitirán entrar de lleno en el mundo de las matemáticas porque nos ayudarán a ver la realidad de cosas muy concretas y, al mismo tiempo, nos ayudarán a distanciarnos de ellas porque el ver que, en realidad, la enorme variedad de conceptos que hay en matemáticas pueden resumirse en dos nos permitirá delimitar, perfilar y dibujar con menor temor la materia con la que nos enfrentamos.

            El nivel de complejidad al que se puede llegar con estos dos conceptos es enorme, por supuesto. Aquí está la dificultad, pero también lo apasionante de las matemáticas. En este recorrido por las matemáticas no dejaremos de tratar con conjuntos y con funciones. Estos dos conceptos van a ir enriqueciéndose, van a ir acumulando significados en la medida que nos enfrentemos a casos muy concretos, en la medida que visualicemos funciones concretas. Haremos disección de conjuntos y funciones. Haremos anatomía. Nos sorprenderá la complejidad y belleza que encontraremos en entidades aparentemente amorfas. Vamos a hacer una biología de los conjuntos y funciones.

Vamos a definir el concepto de conjunto:

            Un conjunto es una reunión, hecha según un criterio cualquiera, de unas entidades cualesquiera.

            Un conjunto es algo tan general como esto. Es el resultado de una agrupación, realizada según un criterio del tipo que sea, de entidades de cualquier naturaleza. A veces a estas entidades se las suele llamar elementos del conjunto.

            Alguna precisión sobre el concepto de entidad: Una entidad será para nosotros una unidad, una agrupación de estructuras que a un determinado nivel de organización dispone de singularidad. Está separada, en un cierto sentido, de un entorno.

            En matemáticas, pues, los conjuntos pueden ser cosas tan variadas como: las personas censadas en Barcelona, los capítulos de El Quijote, los números naturales o  todas las funciones continuas (ya veremos qué tipo de entidades son esas).

Veamos el concepto de función: Dados dos conjuntos A y B cualesquiera, una función es una ley mediante la cual a todo elemento de A se le asocia un único elemento de B.    

En la expresión es y=f(x). La x es aquí una expresión que designa a cualquier elemento del conjunto A y f(x) es una expresión que designa qué procedimiento, qué cálculo es necesario hacer para encontrar el elemento del conjunto B asociado a cada x, a cada elemento del conjunto A, según la ley f de la función. La y es, por lo tanto, el elemento concreto del conjunto B asignado a una x concreta según el procedimiento f.

            f(x) es la expresión de la ley. Es donde se comprimen las especificaciones para asociar elementos de B a cada uno de los elementos de A. La x que hay dentro del paréntesis en f(x) es la x del conjunto A. Es una expresión general de cualquier elemento del conjunto A. Según lo especificado por f(x) sabremos qué elemento del conjunto B le corresponde a cualquier elemento x del conjunto A. Por ejemplo, la función f(x)=x2 nos indica que a un número cualquiera x que esté en el conjunto que ocupa la posición de A, su imagen, el valor que se le asigna según esta función, es su cuadrado. Si el 2 está en A se le asignará el 4, si está el -1 se le asignará el 1. Si está el 10 se le asignará, según esta función f, el 100. Etc.

            No siempre tendremos una expresión general de la función. A veces la ley deberemos expresarla mediante un listado de todos los elementos de A y sus respectivos elementos de B asignados según f.

            Una función es, pues, una ley, una regla, que asocia a todo elemento del conjunto A un único elemento del conjunto B.

            Al conjunto que ocupa la posición del conjunto A suele denominarse dominio y al que ocupa la posición del conjunto B, recorrido. A veces, también, codominio.

            Este libro, por ejemplo, lo podemos ver como un conjunto de párrafos. Un conjunto cuyos elementos son todos los párrafos del texto. Entonces x es la expresión abstracta de cualquiera de sus párrafos, f  es una ley concreta y f(x) es el número que esta ley asigna a cada x distinta, que es un valor del conjunto R de los números reales. Por ejemplo, el números de palabras sería una función f. Según esta ley a cada uno de los párrafos se le asigna el número de palabras.

            Por supuesto que podríamos concretar esta x. Podríamos ir escribiendo cada uno de los párrafos en los que está estructurada esta tesis y a la derecha el número de palabras que le corresponde.

            El número de signos de puntuación sería otra f, otra función. El número de líneas, otra. El número de faltas de ortografía (Espero que esta función sea la función constante cero, escrita f(x) = 0; o sea, la función que a cada párrafo, designado aquí como x, le asigna el número cero). El número de verbos sería otra función. Etc.

            Es curioso porque esta definición de función todos los estudiantes la conocen, la han visto muchas veces, desde primaria la están viendo, pero entenderla bien significa usarla en situaciones bien distintas, significa ser capaz de adaptarse con su uso a conjuntos A y  B muy diferentes, y esto es ciertamente difícil.

Las matemáticas son eso: Conjuntos, funciones, conjuntos de funciones, funciones entre conjuntos de funciones, conjuntos de funciones que se definen entre conjuntos de funciones, etc. Siempre este juego entre conjuntos y funciones. Ya lo iremos viendo.

            En matemáticas es cuestión de entrar en el lenguaje que configuran estos dos conceptos. Si se entra en este lenguaje, si se sitúan las cosas siempre bajo la configuración de estos dos conceptos, muchos conceptos que antes estaban sin una ubicación precisa en nuestra mente adquieren una posición más delimitada, más nítida. Conceptos como, por ejemplo, el de integral definida o el de derivada son, ya lo veremos, en realidad, unos tipos especiales de funciones. Esto cambiará posiblemente el significado que teníamos de estos conceptos.

            Además, lo más difícil y lo más interesante del concepto de función es poder ver sus aplicaciones, cómo estos extraños organismos pueden servirnos para dibujar muchas cosas que vemos a nuestro alrededor. Ver cómo nos permiten dibujar las relaciones que hay entre ciertas características medidas en las cosas más próximas a nosotros.

            Es muy importante ver las enormes posibilidades creativas que tienen estos dos conceptos. Este mundo, además de bello de por sí, está repleto de entidades útiles para pensar nuestro mundo, el de las cosas que nos rodean: el de los animales, el de las plantas, el de los humanos, las relaciones económicas, sociales, etc. Las entidades matemáticas son, tienen un tipo de vida: una vida lingüística. Y, además, pueden servir para representar a otros seres. Este ser dibujos de otras realidades, este ser modelos de cosas que tienen una realidad distinta a la realidad matemática será uno de los aspectos que más nos interesará en este recorrido por el lenguaje de las matemáticas.

            Para un economista, un biólogo, un geólogo, para cualquier científico, las matemáticas aportan unas entidades de interés para dibujar, para aproximar, para modelizar, para dibujar las entidades con las que ellos se enfrentan, pero, además, y esto suele olvidarse, también aportan un ejercicio de pensamiento, de reflexión, que estamos seguros de que juega un importante papel que, aunque no es directamente perceptible, contribuye mucho a la lógica, a la creatividad y a la imaginación necesarias para todo científico. Entrar en el mundo de las matemáticas, además de tener acceso a entidades que son bellas de por sí y de facilitar unas estructuras que pueden ser útiles para hablar de los objetos con los que trata cualquier ciencia, facilita, a cualquiera que accede a él, una gimnasia mental con un valor no suficientemente estudiado y valorado.

            La mayor parte de técnicas que se estudian en matemáticas son formas de mirar y buscar características de los que son los verdaderos protagonistas de la escena matemática: los conjuntos y las funciones.

Los conceptos de conjunto y de función se usan en el lenguaje popular con un significado prácticamente idéntico al que tienen en matemáticas. La palabra conjunto aparece en muchos contextos en el lenguaje cotidiano. Por ejemplo: Los empleados presentaron un conjunto de propuestas al director. El significado de conjunto cumple aquí perfectamente nuestra definición de conjunto. La palabra función, también se usa cotidianamente. Por ejemplo: En función del tiempo que haga iré o no iré. Este uso de función cumple perfectamente, también, la definición de función que se maneja en matemáticas. Cada situación meteorológica posible lleva asociada de forma única una decisión: ir o no ir. Y sólo una.

Definición de Matemáticas

¿Recuerda
el lector haber leído alguna vez una definición de Matemáticas? Posiblemente
no. Es que, en realidad, se han propuesto muy pocas. La verdad es que de las
Matemáticas tenemos muy claro qué cosas pertenecen a ese mundo, pero la visión
sintética, unificadora, integradora que requiere una definición no se realiza
con frecuencia. Esto ya lo podemos tomar, tal vez, como en síntoma de un
problema de fondo muy grave: usualmente en Matemáticas se calcula mucho, se
opera mucho, pero se reflexiona poco. Todos tenemos claro, por ejemplo, que el
mundo de las propiedades de los números, la trigonometría, la geometría, los
logaritmos, los límites, las derivadas, etc., todo esto pertenece al mundo de
las Matemáticas. Pero el problema surge cuando nos planteamos qué son las
Matemáticas, cómo articular con unas cuantas palabras una visión sintética y
unitaria de lo común de todas estas cuestiones que sin dificultad asociamos a
la disciplina de las Matemáticas.
Una posible definición, que es la que manejaré en esta obra y que me servirá como
hilo conductor a lo largo de todos los capítulos, es la siguiente: La
Matemática es la ciencia y la técnica que trata con conjuntos y con funciones.
Toda disciplina tiene un objeto
de trabajo, un ámbito sobre el cual actúa. Un territorio sobre el que decir
cosas o introducir entidades. Por ejemplo, la Lingüística trata con el
lenguaje, el Derecho con normas, la Biología con la vida. Lenguaje, normas,
vida son los objetos sobre los que actúa cada una de esas tres disciplinas.
Si esta disciplina es una ciencia
esta actuación básicamente consiste en la observación y en la experimentación
con la finalidad de comprender un determinado ámbito de la realidad. Así, por
ejemplo, la Lingüística, la Biología o el Derecho, como ciencias se plantean el
estudio racional, la ordenación conceptual, del ámbito objetivo sobre el que
actúan.
Si esta disciplina es una técnica esta actuación consiste en la creación de
entidades, en la creación de determinadas realidades (robots, ordenadores,
puentes, normas, etc.) para que se consigan, así, ciertos objetivos
preestablecidos.
La definición propuesta dice que la Matemática es una ciencia y una técnica.
Generalmente decimos que una disciplina o es una ciencia o una técnica. Pero
hay realmente disciplinas que comparten ambas dimensiones. Por ejemplo, el
Derecho. El Derecho también es una ciencia y una técnica. La dogmática
jurídica, el estudio de las normas vigentes en un territorio y en un momento
dados, es ciencia, es un intento de conocer una determinada realidad normativa,
conocer sus características, su estructura, sus peculiaridades. Pero también
hay en el mundo del Derecho algo cada día más trabajado en el mundo jurídico,
lo que ha venido en llamarse la Tecnología legislativa. Pues esto es, como su
nombre bien indica, una técnica.
La Matemática es, pues, una técnica:
Los conjuntos y las funciones, que son su objeto básico de trabajo, se crean.
Las funciones se crean a veces con la finalidad de modelar algún aspecto de la
realidad: el crecimiento de una población, el comportamiento de alguna
característica física a lo largo del tiempo, la relación entre la abundancia de
dos determinados tipos de palabras a lo largo de un texto, la relación que hay
entre euros y pesetas, etc. Otras veces las funciones se crean por el mero
placer de crear, de crear estructuras con ciertas curiosidades, con formas
extrañas, con propiedades curiosas.
Pero la Matemática es también una
ciencia: Los conjuntos y las funciones son entidades que se pueden estudiar al
modo que trabaja habitualmente la ciencia. Buscar propiedades, características.
De hecho una serie de conceptos clásicos en matemáticas, como el de límite,
derivada, etc., son técnicas para estudiar las funciones, son instrumentos para
caracterizar a los verdaderos entes matemáticos, que son las funciones.
Ya hemos visto la dimensión
científica y tecnológica de la Matemática. Ahora hace falta ver el objeto sobre
el que actúa la Matemática tanto al actuar como ciencia como al actuar como
técnica. Hemos dicho que el objeto es el mundo de los conjuntos y el de las
funciones. Y esto es muy importante. De hecho es la clave del planteamiento de
este curso de Matemáticas. Ver que detrás de todo en Matemáticas están los
conceptos de conjunto y de función es la clave de este proyecto. Es la clave
para mostrar el peculiar lenguaje del mundo de las Matemáticas.
Es claro que puede en principio
sorprender. La mayor parte de los estudiantes que llegan a la Universidad,
después de sus estudios secundarios tienen una idea deformada de lo que son las
Matemáticas. Tienen en la cabeza un enorme repertorio de conceptos matemáticos
muy desconectados entre sí. A un estudiante le cuesta ver la relación que hay
entre conceptos como derivada, límite, logaritmo, trigonometría, integración,
primitiva, etc. Pues la noción de función es un buen elemento de integración.
Porque lo que tienen estos conceptos citados en común y lo que tienen todos los
conceptos matemáticos en común es la noción de función. Que todos son distintos
enfoques, distintas formas de aproximarse a las funciones que son los
verdaderos protagonistas en el mundo de las matemáticas.