Dos conceptos
están siempre presentes en cualquier idea en matemáticas: los conceptos de
conjunto y de función. De hecho, en matemáticas siempre se están manejando
conjuntos y funciones, porque la Matemática es, como ya hemos definido antes,
la ciencia y la técnica que trata con conjuntos y funciones. Siempre conjuntos
y funciones en matemáticas. No se sale de estos dos conceptos.
En realidad el concepto nuclear en
matemáticas es el de función. Lo que sucede es que una función es una regla de
asignación mediante la cual a todo elemento de un conjunto le asociamos un
elemento, y sólo uno, de otro conjunto. Por lo tanto, en una función siempre
necesitamos conjuntos. Uno como conjunto de partida de la función y otro como
conjunto de llegada. Suele denominarse a uno dominio y al otro codominio.
Visto así puede parecer el mundo de
las matemáticas como un mundo pobre, pero lo cierto es que la variedad de
conjuntos y de funciones que se pueden llegar a ver dentro del mundo de las
matemáticas es impresionante. En nuestras visitas a conjuntos y funciones que
haremos en la parte especial de este libro podremos comprobar perfectamente
esta sorprendente variedad.
En matemáticas todo gira en torno al
concepto de función. Puede empezar a percibirse así la unidad que hay dentro
del enorme volumen de conceptos que se han ido creando a lo largo de la
historia de las matemáticas. Decir que las Matemáticas no hay más que funciones,
y los conjuntos que son el soporte de esas funciones, debe proporcionarnos,
además (y esto es muy importante), una cierta tranquilidad a la hora de iniciar
este recorrido. Desde fuera, y a veces también desde dentro, las matemáticas se
observan en muchas ocasiones como una enorme diversidad de conceptos, de técnicas,
de problemas, de naturaleza incierta y sin conexión. Ahora, en este primer
enmarque de lo que veremos, ya hemos unificado y ordenado todo lo matemático:
Estudiar un único objeto, el de función. Siempre, pues, funciones. Esta idea
debe guiarnos siempre en nuestro recorrido. Veremos una gran diversidad de
cosas pero a través del hilo conductor del concepto de función.
Estos dos conceptos agrupan todo lo
que hay en el mundo de las matemáticas. A través de estos conceptos
unificadores se puede entender mucho mejor cada una de las peculiaridades de la
gran diversidad de conceptos que se manejan en matemáticas y que suelen verse
como fragmentarios y desconectados los unos de los otros. Ahora todo aparecerá
agrupado: todo girará en torno a estos dos conceptos. Presentar nuestro recorrido girando siempre
alrededor de estos conceptos ayudará a situar mejor las cosas, ayudará a
enfrentarse a la diversidad con más posibilidades de comprender el papel que
juega cada uno de los conceptos.
Estos dos conceptos serán la guía
para nuestra mirada unificadora a toda la matemática. Serán nuestro hilo
conductor. Nos permitirán entrar de lleno en el mundo de las matemáticas porque
nos ayudarán a ver la realidad de cosas muy concretas y, al mismo tiempo, nos
ayudarán a distanciarnos de ellas porque el ver que, en realidad, la enorme
variedad de conceptos que hay en matemáticas pueden resumirse en dos nos
permitirá delimitar, perfilar y dibujar con menor temor la materia con la que
nos enfrentamos.
El nivel de complejidad al que se
puede llegar con estos dos conceptos es enorme, por supuesto. Aquí está la
dificultad, pero también lo apasionante de las matemáticas. En este recorrido
por las matemáticas no dejaremos de tratar con conjuntos y con funciones. Estos
dos conceptos van a ir enriqueciéndose, van a ir acumulando significados en la
medida que nos enfrentemos a casos muy concretos, en la medida que visualicemos
funciones concretas. Haremos disección de conjuntos y funciones. Haremos
anatomía. Nos sorprenderá la complejidad y belleza que encontraremos en
entidades aparentemente amorfas. Vamos a hacer una biología de los conjuntos y
funciones.
Vamos
a definir el concepto de conjunto:
Un conjunto es una reunión, hecha
según un criterio cualquiera, de unas entidades cualesquiera.
Un conjunto es algo tan general como
esto. Es el resultado de una agrupación, realizada según un criterio del tipo
que sea, de entidades de cualquier naturaleza. A veces a estas entidades se las
suele llamar elementos del conjunto.
Alguna precisión sobre el concepto
de entidad: Una entidad será para nosotros una unidad, una agrupación de
estructuras que a un determinado nivel de organización dispone de singularidad.
Está separada, en un cierto sentido, de un entorno.
En matemáticas, pues, los conjuntos
pueden ser cosas tan variadas como: las personas censadas en Barcelona, los
capítulos de El Quijote, los números
naturales o todas las funciones
continuas (ya veremos qué tipo de entidades son esas).
Veamos
el concepto de función: Dados dos conjuntos A y B cualesquiera, una función es
una ley mediante la cual a todo elemento de A se le asocia un único elemento de
B.
En
la expresión es y=f(x). La x es aquí una expresión que designa a cualquier
elemento del conjunto A y f(x) es una expresión que designa qué procedimiento,
qué cálculo es necesario hacer para encontrar el elemento del conjunto B
asociado a cada x, a cada elemento del conjunto A, según la ley f de la
función. La y es, por lo tanto, el elemento concreto del conjunto B asignado a
una x concreta según el procedimiento f.
f(x) es la expresión de la ley. Es
donde se comprimen las especificaciones para asociar elementos de B a cada uno
de los elementos de A. La x que hay dentro del paréntesis en f(x) es la x del
conjunto A. Es una expresión general de cualquier elemento del conjunto A.
Según lo especificado por f(x) sabremos qué elemento del conjunto B le
corresponde a cualquier elemento x del conjunto A. Por ejemplo, la función
f(x)=x2 nos indica que a un número cualquiera x que
esté en el conjunto que ocupa la posición de A, su imagen, el valor que se le
asigna según esta función, es su cuadrado. Si el 2 está en A se le asignará el
4, si está el -1 se le asignará el 1. Si está el 10 se le asignará, según esta
función f, el 100. Etc.
No siempre tendremos una expresión
general de la función. A veces la ley deberemos expresarla mediante un listado
de todos los elementos de A y sus respectivos elementos de B asignados según f.
Una función es, pues, una ley, una
regla, que asocia a todo elemento del conjunto A un único elemento del conjunto
B.
Al conjunto que ocupa la posición
del conjunto A suele denominarse dominio y al que ocupa la posición del
conjunto B, recorrido. A veces, también, codominio.
Este libro, por ejemplo, lo podemos
ver como un conjunto de párrafos. Un conjunto cuyos elementos son todos los
párrafos del texto. Entonces x es la expresión abstracta de cualquiera de sus
párrafos, f es una ley concreta y f(x)
es el número que esta ley asigna a cada x distinta, que es un valor del
conjunto R de los números reales. Por ejemplo, el números de palabras sería una
función f. Según esta ley a cada uno de los párrafos se le asigna el número de
palabras.
Por supuesto que podríamos concretar
esta x. Podríamos ir escribiendo cada uno de los párrafos en los que está
estructurada esta tesis y a la derecha el número de palabras que le
corresponde.
El número de signos de puntuación
sería otra f, otra función. El número de líneas, otra. El número de faltas de
ortografía (Espero que esta función sea la función constante cero, escrita f(x)
= 0; o sea, la función que a cada párrafo, designado aquí como x, le asigna el
número cero). El número de verbos sería otra función. Etc.
Es curioso porque esta definición de
función todos los estudiantes la conocen, la han visto muchas veces, desde
primaria la están viendo, pero entenderla bien significa usarla en situaciones
bien distintas, significa ser capaz de adaptarse con su uso a conjuntos A
y B muy diferentes, y esto es
ciertamente difícil.
Las
matemáticas son eso: Conjuntos, funciones, conjuntos de funciones, funciones
entre conjuntos de funciones, conjuntos de funciones que se definen entre
conjuntos de funciones, etc. Siempre este juego entre conjuntos y funciones. Ya
lo iremos viendo.
En matemáticas es cuestión de entrar
en el lenguaje que configuran estos dos conceptos. Si se entra en este
lenguaje, si se sitúan las cosas siempre bajo la configuración de estos dos
conceptos, muchos conceptos que antes estaban sin una ubicación precisa en nuestra
mente adquieren una posición más delimitada, más nítida. Conceptos como, por
ejemplo, el de integral definida o el de derivada son, ya lo veremos, en
realidad, unos tipos especiales de funciones. Esto cambiará posiblemente el
significado que teníamos de estos conceptos.
Además, lo más difícil y lo más
interesante del concepto de función es poder ver sus aplicaciones, cómo estos
extraños organismos pueden servirnos para dibujar muchas cosas que vemos a
nuestro alrededor. Ver cómo nos permiten dibujar las relaciones que hay entre
ciertas características medidas en las cosas más próximas a nosotros.
Es muy importante ver las enormes
posibilidades creativas que tienen estos dos conceptos. Este mundo, además de
bello de por sí, está repleto de entidades útiles para pensar nuestro mundo, el
de las cosas que nos rodean: el de los animales, el de las plantas, el de los
humanos, las relaciones económicas, sociales, etc. Las entidades matemáticas son, tienen un tipo de vida: una vida
lingüística. Y, además, pueden servir para representar a otros seres. Este ser
dibujos de otras realidades, este ser modelos de cosas que tienen una realidad
distinta a la realidad matemática será uno de los aspectos que más nos
interesará en este recorrido por el lenguaje de las matemáticas.
Para un economista, un biólogo, un
geólogo, para cualquier científico, las matemáticas aportan unas entidades de
interés para dibujar, para aproximar, para modelizar, para dibujar las
entidades con las que ellos se enfrentan, pero, además, y esto suele olvidarse,
también aportan un ejercicio de pensamiento, de reflexión, que estamos seguros
de que juega un importante papel que, aunque no es directamente perceptible,
contribuye mucho a la lógica, a la creatividad y a la imaginación necesarias para
todo científico. Entrar en el mundo de las matemáticas, además de tener acceso
a entidades que son bellas de por sí y de facilitar unas estructuras que pueden
ser útiles para hablar de los objetos con los que trata cualquier ciencia,
facilita, a cualquiera que accede a él, una gimnasia mental con un valor no
suficientemente estudiado y valorado.
La mayor parte de técnicas que se
estudian en matemáticas son formas de mirar y buscar características de los que
son los verdaderos protagonistas de la escena matemática: los conjuntos y las
funciones.
Los
conceptos de conjunto y de función se usan en el lenguaje popular con un
significado prácticamente idéntico al que tienen en matemáticas. La palabra conjunto aparece en muchos contextos en
el lenguaje cotidiano. Por ejemplo: Los
empleados presentaron un conjunto de propuestas al director. El significado
de conjunto cumple aquí perfectamente
nuestra definición de conjunto. La palabra función,
también se usa cotidianamente. Por ejemplo: En
función del tiempo que haga iré o no iré. Este uso de función cumple perfectamente, también, la definición de función que
se maneja en matemáticas. Cada situación meteorológica posible lleva asociada
de forma única una decisión: ir o no ir. Y sólo una.
