Supongamos tres equipos de investigación que estudian la
variable altura en una misma población: el equipo A, el equipo B y el equipo C.
Los tres equipos estudian, pues, la misma realidad.
El equipo A toma una muestra de tamaño 100, calcula la
media (M) y la desviación estándar (DE) y resulta que la M es 171 y la DE es 10.
El equipo B toma una muestra de tamaño 400 y resulta
que al calcular la M y la DE obtiene los siguientes valores: 170.5 y 10.
El equipo C toma una muestra de tamaño 10000 y resulta
que al calcular la M y la DE obtiene los valores: 170 y 10.
El que las medias sean valores tan parecidos y los de
DE sean idénticos, es debido a que los tres equipos están estudiando la misma
población y es perfectamente posible que suceda algo así. Es cierto que el que
sean las DE exactamente iguales es un poco ficticio y me permite explicarme
mejor pero no es descabellado pensar que en un caso real sean muy similares.
Por otro lado, es lógico que no haya mucha diferencia entre los cálculos que
pueda hacer cada equipo en sus muestras. Es cierto que los tamaños muestrales
son distintos, pero todas las muestras son de la misma población. Aquí la
estructura poblacional domina sobre el tamaño muestral.
A la hora de construir un intervalo del 95% de la
variable altura el equipo A dará el intervalo (151, 191), el B (150.5, 190.5) y
el C (150,190). Recordemos que estos intervalos se construyen tomando la media y
restándole y sumándole dos veces la desviación estándar. Así se construye un
intervalo en el que está el 95% de los valores individuales de la variable, siempre
y cuando la variable se distribuya según el ritmo de una campana de Gauss, de
una distribución normal (Suele tomarse este más menos dos desviaciones estándar
por aproximación, pero lo exacto sería calcular 1.96 multiplicado por la
desviación estándar). Observemos, pues, que se trata de intervalos muy
parecidos, prácticamente iguales y observemos, también, que aquí el tamaño muestral
no interviene, no juega un papel decisivo. Aquí domina la estructura
poblacional.
Pero si los tres equipos nos dieran un intervalo del
95% DE LA MEDIA (Observad que lo pongo con mayúsculas) serían: (169, 173) el
del equipo A, (169.5, 171.5) el del equipo B y (169.8, 170.2) el del equipo C.
Y aquí sí que habría diferencias importantes. Y aquí sí que interviene el
tamaño muestral. Aquí no es tan determinante la estructura poblacional y sí lo
es, por el contrario, el tamaño muestral. Porque el intervalo es ahora un
intervalo de la media.
Es fundamental distinguir estos dos tipos de
intervalos. Los construidos antes y los construidos ahora. En el fondo es un
problema de saber si estamos ante UNA PREDICCIÓN o ante UNA DESCRIPCIÓN. Los
intervalos que los tres equipos daban primero (Los (151, 191), (150.5, 190.5) y (150, 190)) son
una DESCRIPCIÓN de una realidad, de la variabilidad de una variable (la altura)
y, en este caso, la realidad domina sobre el tamaño muestral. Son intervalos
muy similares. Y es así por este dominio de la realidad. Sin embargo, a la hora
de predecir es el tamaño muestral el que domina sobre la realidad. En estos
intervalos DE LA MEDIA (Los (169, 173),
(169.5, 171.5) y (169.8, 170.2) no significa que el 95% de alturas están entre
sus límites sino significa que tenemos una confianza del 95% de que la
verdadera media poblacional (que es un número desconocido que pretendemos
predecir) está dentro del intervalo. Estamos tratando de PREDECIR un valor no
de DESCRIBIR la variabilidad de una variable. Y en este tipo de intervalos de
la media el tamaño de la muestra sí que es determinante porque marca la precisión
que tenemos para hacer una predicción. Cuanto mayor sea el tamaño de muestra
más precisión y, por lo tanto, más estrecho será el intervalo. Y por una razón
fundamental: Cuanto más pequeño es un tamaño muestral más diferencias (más
dispersión) habrá entre las diferentes medias que calculemos a las diferentes
muestras posibles. Y, por el contrario, cuanto más grande sea el tamaño
muestral más proximidad habrá entre las muestras posibles. Esto es crucial
entenderlo: Entre muestras pequeñas habrá más diferencias que entre muestras
grandes.
Para entender esto hay que profundizar en la noción de
variable en estadística. Una variable cuantitativa es una medida que podemos
evaluar a unas entidades determinadas. El peso, la altura, la renta en 2010 son
variables que podemos medir a personas. El número de sílabas es una variable
que podemos medir a toda palabra del castellano. El número de trabajadores lo
es para empresas, etc.
Pues bien, algo muy importante: LA MEDIA MUESTRAL ES
UN NÚMERO PARA UNA MUESTRA PERO TAMBIÉN DEBE VERSE COMO UNA VARIABLE. La media
muestral debe verse también como una variable, una variable que tiene valores
distintos según la muestra que tengamos, una variable que se puede medir a toda
muestra de un tamaño n que obtengamos en una población. Cuando tomamos una
muestra de una población la muestra que tenemos es una de las muchísimas
muestras que podríamos tener. Por lo tanto, la media muestral también es una
variable, una variable que varía según la muestra que tengamos, y, como
variable que es, tiene media y DE. Una media y una DE que nunca tendremos realmente,
porque en un estudio tenemos una muestra de cierto tamaño, no todas las
muestras posibles de dicho tamaño; pero sí podemos tenerlas idealmente, teóricamente,
conceptualmente; que significa, en estadística, algo así como aproximadamente.
Y ahora veamos un teorema muy importante en
Estadística: Si una variable sigue una distribución normal la media muestral de
esta variable, como variable, también es una normal. Una normal también con su
media y su desviación estándar. Su media es, exactamente, la misma que la de la
variable original; o sea: M. Su DE es la de la variable original dividido por
la raíz cuadrada del tamaño de muestra: DE/raíz(n). O sea, si una variable
sigue una distribución N(M, DE) la media muestral, como variable, sigue una
distribución N(M, DE/raíz(n)). Al aumentar el tamaño de muestra disminuye la
dispersión de esa media como variable, por aquello que hemos dicho antes: Entre
muestras pequeñas hay más diferencias que entre muestras grandes, por lo tanto
al aumentar el tamaño muestral las medias posibles calculadas a las distintas muestras
posibles van pareciéndose cada vez más entre ellas. De ahí que la precisión a
la hora de construir intervalos de confianza de la media dependa del tamaño muestral.
Cuanto mayor es el tamaño de la muestra, como la n está en el denominador,
DE/raíz(n) es cada vez menor y los intervalos de predicción de la media
poblacional serán cada vez más estrechos, más precisos. Porque el intervalo de
la media es una PREDICCIÓN de la media poblacional
Teníamos tres equipos: el A, el B y el C, estudiando
las alturas de una misma población. Los tres equipos trabajaban con distinto
tamaño de muestra: el A con tamaño 100, el B con tamaño 400 y el C con 10000.
Pero los tres tenían medias y DE muy próximas, por eso los intervalos del 95%
de valores individuales de la variable estudiada, los intervalos que DESCRIBEN
la variabilidad de la variable, son muy similares. Sin embargo, los intervalos
de confianza del 95% de la media, los que PREDICEN, que dan cada equipo son muy
distintos: (169, 173), (169.5, 171.5) y (169.8, 170.2).
Veamos cómo calcula cada equipo su intervalo de
confianza del 95% de la media. Para el equipo A, DE/raíz(n) vale 10/raíz(100)=10/10=1.
Por lo tanto, la media muestral sigue una distribución N(171, 1). Para el
equipo B, DE/raíz(n) vale 10/raíz(400)=10/20=0.5. Por lo tanto, la media muestral
sigue una distribución N(170.5, 0.5). Para el equipo C, DE/raíz(n) vale
10/raíz(10000)=10/100=0.1. Por lo tanto, la media muestral sigue una distribución
N(170, 0.1).
Puede entenderse, pues, que si construyen un intervalo
de confianza del 95% de la media tomen la media más menos dos DE/raíz(n) porque
este cociente es la DE de la media. A esta DE de la media muestral, vista ésta como
variable, se le denomina ERROR ESTÁNDAR.
El error estándar es, pues, una DE, pero una DE de la
media muestral, y en general de una predicción cualquiera. Es una DE que,
además, se construye a partir de la DE de la variable original. Se entiende,
pues, que el intervalo del 95% del equipo A sea (169, 173), el del B sea (169.5,
171.5) y el del equipo C sea (169.8, 170.2), basta con restar y sumar dos veces
sus respectivas DE; o sea, sus errores estándar (EE). El EE que tenía la media
muestral del equipo A hemos visto que era 1, de ahí el 171 más menos 2. El EE
que tenía la media muestral del equipo B era 0.5. Dos veces ese EE nos lleva al
intervalo 170.5 más menos 1. El EE que tenía la media muestral del equipo C era
0.1. Dos veces ese EE nos lleva al intervalo 170 más menos 0.2. Recordemos que
en una distribución normal cualquiera la media más menos dos DE construye un
intervalo de confianza del 95%. En este último caso es media más menos dos EE
porque estamos hablando de la DE de una predicción y eso siempre le llamamos
ERROR ESTÁNDAR.
Tener muestras más grandes nos permite construir
intervalos más estrechos a la hora de hacer predicciones.
Es muy importante, pues, diferenciar cuándo se dan
intervalos de la variación de una variable con finalidad DESCRIPTIVA, como
cuando los tres equipos daban los intervalos (151, 191), (150.5, 190.5) y (150,
190), construidos con la DE de la variable estudiada, de cuándo se dan
intervalos de la media o de otra predicción, con finalidad, entonces, PREDICTIVA,
como los (169, 173), (169.5, 171.5) o (169.8, 170.2) construidos con la DE de
esa predicción vista como variable. DE que para distinguirla la denominamos
ERROR ESTÁNDAR y que siempre depende de la DE de la variable estudiada y del
tamaño muestral. Es básico ver esta diferencia.
El término ERROR ESTÁNDAR es, pues, en realidad, una
DESVIACIÓN ESTÁNDAR, pero reservado siempre para nombrar desviaciones estándar
de predicciones, de estimaciones de un número: medias, porcentajes, odds
ratios, correlaciones, etc.
