De todos
los conjuntos posibles los más usados en la construcción del mundo de las
matemáticas son los conjuntos de números: Los conjuntos cuyos elementos son
números. Son los más usados porque en matemáticas es muy usual tratar con
magnitudes, con valores, con números que hacen referencia a una característica.
Los números son el alfabeto de las magnitudes de cualquier naturaleza.
Potencialmente hay infinitos
conjuntos de números. Los cinco conjuntos de números más populares, más
usuales, son el conjunto de los naturales, el de los enteros, el conjunto de
los racionales, el de los números reales y el de los complejos.
N
es el conjunto de los números naturales, Z el de los números enteros, Q el de
los racionales, R el de los reales y C el de los números complejos. Unos dentro
de otros. Unos como subconjuntos de otros. (Un conjunto es subconjunto de otro
conjunto cuando todos sus elementos -los del subconjunto- están incluidos en el
otro conjunto). Así los naturales son un subconjunto de los enteros; éstos, a
su vez, son un subconjunto de los racionales, etc. Todos, en última instancia,
son subconjuntos de los números complejos, que se constituye en el techo de
todos los posibles conjuntos de números.
El conjunto de los números naturales
N es el formado por los siguientes números: {1,2,3,…}.
Los
puntos suspensivos indican que tenemos la posibilidad de continuar
indefinidamente.
Kronecker dijo en una ocasión que
los números naturales los creó Dios y todos los demás los crearon los hombres.
De hecho es el conjunto de números más familiar para nuestra intuición, para
nuestra capacidad de percibir la discretización de las cosas de nuestro mundo.
Las cosas las agrupamos, y se agrupan, en cantidades que son números naturales.
Decimos un coche, o cinco personas, o siete libros.
Un número es una entidad matemática
con vida propia, como toda entidad matemática, y que, como sucede también con
toda entidad matemática, además, puede actuar como modelo, como representación,
como aproximación, de la cantidad, de la magnitud de una característica de una
entidad cualquiera.
El conjunto de los números enteros Z
es el formado por los números naturales, el cero y los naturales con signo
negativo; o sea, el formado por los siguientes números:{…,-2,-1,0,1,2,…}.
Los
puntos suspensivos aquí se toman desde la izquierda, porque podemos extendernos
indefinidamente hacia la izquierda, y hacia la derecha, porque, como sucede con
los naturales, podemos continuar indefinidamente hacia la derecha.
Los números enteros los podemos usar
como modelo, como representación de muchas situaciones: Si en un banco tenemos,
en una cuenta, 1000 pesetas y nos pagan un recibo de la luz que es de 2000
pesetas, nos aparecerá un saldo de -1000, y esto lo entendemos todos. Dentro del
conjunto de los números naturales no existe ningún número, ningún modelo, para
representar este saldo negativo. En los enteros sí lo tenemos.
Los números negativos se entienden y
se usan hoy en día con total normalidad, pero no siempre ha sido así. Incluso
hoy en día no es sencilla su comprensión por ciertas personas de algunas
generaciones. A ciertas personas mayores si se les pregunta cuánto es 5 menos 8
dicen que cero. Si a cinco se le quita ocho no queda nada, dicen, si se les
pide que razonen el porqué.
El
conjunto de los números racionales Q es el formado por los siguientes números:{a/b;
a y b son enteros y b es distinto de cero}.
Esta es la expresión abstracta del
conjunto. Se lee así: El conjunto de los números racionales está formado por
elementos x tales que x es igual a un cociente cualquiera de dos números
enteros con la única condición de que la q no sea el cero en ningún caso.
El conjunto de los números
racionales está formado por cocientes de números enteros. Son las fracciones:
1/2, 3/4, etc. Buen modelo también para situaciones reales, comerciales,
cotidianas, para formas de hablar, etc. Decimos la mitad, o tres cuartas
partes. Son expresiones que entendemos todos. Los racionales se crearon
para modelizar este tipo de situaciones. En general, cuando algo puede
dividirse en fragmentos de la misma magnitud q y tomamos p fragmentos de esos,
entonces hemos tomado el número racional p/q.
El conjunto de los números reales R es
el conjunto de los números racionales más el de los irracionales. Los
irracionales son los números que no pueden expresarse en forma de un cociente
de enteros. Por ejemplo: el número pi, el número e, la 2, etc. Estos números no pueden expresarse en
forma de fracción. Sus decimales no siguen una ordenación regular. Tienen
infinitos decimales y, además, imprevisibles. Esto de imprevisibles es
fundamental porque, por ejemplo, 10/3 es un número racional que tiene infinitos
decimales también, pero son claramente previsibles, son siempre el mismo
número: el 3.
Estos números surgen de la necesidad
de representar valores reales como la relación entre el diámetro y el perímetro
en una circunferencia o la longitud del diámetro en un cuadrado de lado uno,
para cuya representación no nos valen los racionales. No hay ningún racional
que nos proporcione la longitud del diámetro de un cuadrado de lado uno, de la
misma forma que no había ningún número natural que nos representara un saldo
negativo de mil pesetas.
Cada número real ocupa una posición
en la denominada recta real. La recta está ocupa en todos sus puntos. No
ocurriría lo mismo si representáramos los racionales. En este caso habría
agujeros. En la posición del número pi , por ejemplo, habría
un agujero, porque el número pi no es un número racional.
El conjunto de los números complejos
C es el conjunto de los siguientes números: {a+bi; donde a y b son números
reales e i es igual a la raíz cuadrada de -1}.
Un número complejo tiene la forma
a+bi. La a es la llamada parte real y la b es la llamada parte imaginaria. Los
números reales son los números complejos en los que la parte imaginaria es
igual a cero. Uno puede decir: Tengo
24+0i años. Cualquier número, en realidad, es un número complejo.
Estos
números resuelven ecuaciones como, por ejemplo, x2+1=0. No hay
ningún número real que sea solución de esta ecuación porque no hay ningún
número real que elevado al cuadrado (que multiplicado por él mismo) dé -1, que
es lo que debería suceder para que la igualdad fuera cierta.
Como puede apreciarse cada tipo de
número es una respuesta a algún tipo de situación real. Cada tipo de números
aporta algo nuevo que era imposible encontrar en los anteriores.
Los números complejos son el techo
de todos los números. Los demás son diferentes subconjuntos de éstos y, como
tales, son, en realidad, complejos. Por ejemplo, los números reales son
complejos en los que la b es igual a cero. Como la b, en los complejos, puede
ser cualquier número real, y como los reales son los complejos para los que la
b es igual a cero, los reales se ven ahora como una muy pequeña parte respecto
al total de números complejos.
Es muy interesante ver cómo unos
conjuntos de números están incluidos dentro de otros. Los naturales están
dentro de los enteros, los enteros dentro de los racionales, los racionales
dentro de los reales y los reales están dentro de los complejos. Todos son,
pues, complejos.
Se pueden ver los números complejos
como puntos de un plano en el que una dimensión es la llamada parte real del
número, la a, y la otra dimensión la parte imaginaria, la b. De esta forma cada
número complejo ocupa una posición distinta en este plano, una posición
definida por dos componentes: su parte real y su parte imaginaria.
Aunque estos conjuntos de números
son los más usuales en matemáticas no son los únicos conjuntos de números
importantes. Hay otros conjuntos de números que en gran parte pueden ser partes
de estos conjuntos básicos vistos, pero que es muy importante especificar por
la enorme importancia que tienen. Por ejemplo: el conjunto de números reales
comprendidos entre el cero y el diez, incluidos ambos. Este conjunto en
lenguaje más técnico se le suele denominar el intervalo cerrado de números
reales entre el cero y el diez. Escrito en lenguaje matemático:[0,10].
De
este conjunto no nos hemos escapado de manejarlo nadie. Es el conjunto de notas
posibles tras un examen. En España la forma de puntuar habitual de los exámenes
es mediante un número que va del cero al diez, de un número de este intervalo
cerrado. Es cerrado porque el cero y el diez pueden ser notas. Si el cero y el
diez no pudieran nunca ponerse como notas pero sí cualquier nota entre ellos el
intervalo sería el denominado “abierto”. Y se escribiría entonces (0,10) De la
misma forma hay los semiabiertos:[0,10) y (0,10]. La interpretación de estos
intervalos es obvia si se proyecta lo explicado anteriormente.
Otro
conjunto de números importante: El intervalo de números reales del cero al
cien. Escrito:[0,100]. Continuamente hablamos en porcentajes. Pues tomamos
entonces valores de este conjunto.
Otro
conjunto:[0,1]. Este es un conjunto de números muy usual en el mundo de las
probabilidades. Las probabilidades las solemos expresar en tanto por uno. Por
ejemplo, en una moneda equilibrada decimos que la probabilidad de cara es 0,5.
Otro:[-1,1].
Muy usual para indicar las correlaciones entre dos características evaluadas en
ciertos individuos. Por ejemplo, podemos oír o leer que en una muestra
estudiada se ha comprobado que entre la altura y el peso hay una correlación de
0,78. Este valor de correlación por el cálculo que implica siempre está
comprendido entre el -1 y el 1.
Otro
índice muy popular en la Química: El pH. Es un número entre 1 y 14. Por lo
tanto, el pH es un valor de un intervalo [1,14].
